ГлавнаяСтатьиРадио и физика → Теория трансформатора

Теория трансформатора

21 февраля 2014 года
Ключевые слова: трансформатор , индукция

Основные определения.

Трансформатор – устройство передающее колебания тока из одной цепи в другую с помощью магнитного поля. Он состоит из 2-х катушек, намотанных на общем ферромагнитном сердечнике, который концентрирует магнитный поток.
Колебания тока в первой катушке меняют магнитный поток в сердечнике индуцируя ЭДС и ток во второй катушке.


Рис.1. И это тоже трансформатор.

Опыт показывает, что магнитный поток создаваемый катушкой с током через произвольную удаленную поверхность S пропорционален произведению тока катушки I на число ее витков n, т.е:

$$ \Phi=I n \, G_m \qquad \eqno(1) $$

Коэффициент пропорциональности Gm называют магнитной проводимостью, произведение I n магнитодвижущей силой, а само соотношение (1) законом Ома для магнитной цепи.

Пусть катушки намотаны на кольцевом сердечнике, сечение которого S и магнитная проницаемость μ постоянны, магнитное поле внутри почти однородно.
Потокосцепление в каждой катушке (сумма магнитных потоков через ее витки) складывается из собственного и соседнего:

$$ \begin{array}{l} \Psi_1=\Psi_{11}+\Psi_{12}\\ \Psi_2=\Psi_{21}+\Psi_{22} \end{array} $$     или через токи и индуктивности:     $$ \begin{array}{l} \Psi_1=L_1 I_1+M_{12}I_2\\ \Psi_2=M_{21} I_1+ L_2 I_2 \end{array} \qquad \eqno(2) $$

Здесь 1-ый индекс двойной нумерации обозначает место наблюдения, а 2-ой источник.

Взаимное потокосцепление создано потоком внутри магнитопровода:

$$ \Psi_{12}=n_1 \Phi_2_M(I_2) =n_1 G_m \,n_2 I_2=M_{12} I_2 \; \; \; , \; \; \; \Psi_{21}=n_2 \Phi_1_M(I_1)=n_2 G_m \,n_1 I_1=M_{21} I_1 $$

Как видно коэффициенты взаимной индукции для изотропного магнетика одинаковы:

$$ M_{12}=M_{21}=M=n_1 \, n_2 \, G_m \qquad \eqno(3) $$

Коэффициентом связи называют средне геометрическое отношение взаимных потокосцеплений к собственным:

$$ k=\sqrt{ \Psi_{12} \Psi_{21} \over \Psi_{11} \Psi_{22}} ={ M \over \sqrt{L_1 L_2}} \qquad \eqno(4) $$

Коэффициент связи всегда меньше либо равен единице.

Отношение числа витков первичной и вторичной обмоток называют коэффициентом трансформации и тоже обозначают буквой n:

$$ n = { n_1 \over n_2} $$

Эквивалентная схема.

Потокосцепление есть сумма рассеиваемого в окружающее пространство (индекс S) и уходящего в магнитопровод (индекс M).
Отсюда индуктивность катушки L1 равна:

$$ L_1={\Psi_{11} \over I_1}={\Psi_{1S} \over I_1}+{\Psi_{1M} \over I_1}=L_{S1}+{n_1 \Phi_{1M} \over I_1} $$

Во втором слагаемом тоже должна быть индуктивность. Но какая?
Вспомним, что поток Φ1M создает во второй обмотке потокосцепление Ψ21 :

$$ \frac {n_1 \Phi_{1M}}{I_1}=\frac {n_1 n_2 \Phi_{1M}}{n_2 I_1}=\frac {n_1 \Psi_{21}}{n_2 I_1} =\frac {n_1}{n_2} {M}$$

В итоге получаем, что индуктивность каждой катушки складывается из индуктивностей рассеивания и намагничивания:

$$ L_1=L_{1S}+ {n_1 \over n_2}M \, \, \, \,, \, \, \, \, L_2=L_{2S}+ {n_2 \over n_1}M \qquad \eqno(5) $$

Поскольку обычно индуктивность рассеивания много меньше индуктивности намагничивания, то отношение L1 к L2 равно квадрату
коэффициента трансформации:

$$ \frac{L_1}{L_2}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2=n^2 \, \, \, \, \, \, \, \eqno(6) $$

Польза от этой формулы двойная.
Во-первых, она позволяет найти коэффициент трансформации трансформатора не включая его в электросеть.
И, во-вторых, выяснить физический смысл коэффициента связи. Это коэффициент пропорциональности между индуктивностью намагничивания и полной индуктивностью:

$$ L_{1M}=kL_1 \, \, , \, \, L_{1S}=(1-k)L_1 $$       и соответственно       $$ L_{2M}=kL_2 \, \, , \, \, L_{2S}=(1-k)L_2 \qquad \eqno(7) $$

Подставив (5) в (2) получаем:

$$ \begin{array}{1} \Psi_1=L_{S1}I_1+(Mn)I_1+MI_2\\ \Psi_2=L_{S2}I_2+(M/n)I_2+MI_1 \end{array} \qquad \eqno(8) $$

Масштабируем ток I2' = I2 / n , потокосцепление Ψ2' = n Ψ2 и взаимоиндукцию M' = n M. Тогда эта система запишется еще проще:

$$ \begin{array}{l} \Psi_1=L_{S1}I_1+M'(I_1+I_2')\\ \Psi_2'=(n^2L_{S2})I_2'+M'(I_1+I_2') \end{array} \qquad \eqno(9) $$

Ей соответствует эквивалентная схема на Рис.2.


Рис.2 Приведенная схема замещения трансформатора с неодинаковыми обмотками.

Масштабированная индуктивность рассеивания: n2 Ls2 = n2 ( 1-k ) L2 = ( 1 - k ) L1 = Ls1
Масштабированная взаимоиндукция: n M = n k ( L1 L2 )1/2 = k L1

Итак, трансформатор с n 1 всегда можно привести к эквивалентному ему с n = 1.
Параметры его обмоток нетрудно найти из опыта [1]. Измерив индуктивность первичной обмотки на холостом ходу получаем индуктивность L1.
Замкнув любую из вторичных обмоток найдем Lкз = 2 Ls

Амплитудно-частотная характеристика.

Пускай трансформатор включен в электроцепь как показано на Рис.3.


Рис.3. Подключение нагрузки.

Описывающие ее уравнения выглядят так:

$$ \begin{array}{l} U_1=I_1r_1+j \omega L_1I_1+j \omega M I_2\\ U_n=I_2r_2+j \omega L_2I_2+j \omega M I_1 \end{array} \qquad \eqno(10) $$

Здесь ω - круговая частота, $$ r_ 1 \,,\, r_2 \, $$ - сопротивления обмоток. Напряжение на нагрузке $$ U_n=-I_2Z_n $$. Знак минус из-за того, что оно отсчитывается против направления обхода контура.

Из второго уравнения нетрудно найти коэффициент передачи по току:

$$ K_I=\frac{I_2}{I_1}=-\frac{j \omega M}{r_2+j \omega L_2+Z_n} \qquad \eqno(11) $$

Деля второе уравнение системы (7) на первое найдем и коэффициент передачи по напряжению:

$$ K_U=\frac{U_n}{U_1}=K_I \frac{r_2+j \omega L_2+j \omega M / K_I}{r_1+j \omega L_1+j \omega M K_I} \qquad \eqno(12) $$


Оно довольно громоздко, поэтому применяют ряд упрощений, например, считают трансформатор совершенным.
У такого трансформатора нет полей рассеивания и потерь в обмотках, т.е. k=1, r1=r2=0.

Для совершенного трансформатора $$ L_1=Mn \, \, \, , \, \, \, L_2=M/n \, \, \, , \, \, \, n=\sqrt{L_1/L_2} $$     коэффициенты передачи по току и напряжению:

$$ \begin{array}{l} K_I=-\frac{j \omega M}{Z_n+j \omega /n}\\ K_U=\frac{1}{n} \end{array} \qquad \eqno(13) $$

Пускай нагрузка трансформатора чисто резистивная Zn=Rn. Учитывая, что M = n L2 коэффициент передачи по току:

$$ \boxed{ K_I=-n \frac{j \omega \tau_2}{1+j \omega \tau_2}} \qquad \eqno(14) $$

где $$ \tau_2=L_2/R_n     $$ постоянная времени нагрузки. Ей определяется граничная частота, на которой происходит спад частотной характеристики на 3 дБ.


Рис.4 АЧХ трансформатора в области низких частот.

Если задана наименьшее рабочая частота fmin, то минимально возможное значение индуктивности должно быть:

$$ \boxed{ L_2=\frac{R_n}{2\pi f_{min}} } $$

Например, при fmin=100 кГц и Rn=1 кОм расчет дает L2=1,59 мГн. На практике, для уменьшения тока намагничивания и улучшения АЧХ, значение индуктивности выбирают в 3..4 раза больше минимального.

Переходная характеристика.

Переходная характеристика это реакция на ступенчатое воздействие. Вычислить ее проще операторным методом:

Изображение единичной функции воздействия: $$ X(p)=\mathcal{L}\,(1(t))= \frac{1}{p} $$         где $$ \mathcal{L} $$ прямой оператор Лапласа.

Изображение отклика: $$ Y(p)=X(p)K(p)=-n\frac{\tau_2}{1+p \tau_2} $$         где $$ p=j \omega $$ комплексная частота.

Оригинал отклика: $$ Y(p)=\mathcal{L}^{-1}(y(t)) $$         где $$ \mathcal{L}^{-1} $$ обратный оператор Лапласа.

Его можно найти при помощи специальных таблиц, но удобнее воспользоваться сервисом http://www.wolframalpha.com/ см Рис.5.


Рис.5. Решение операторного уравнения.

В результате отклик на ступенчатое воздействие единичной величины есть затухающая экспонента $$ y(t)=-ne^{-t/\tau_2} $$

Прямоугольный импульс есть разность 2-х ступенчатых функций, смещенных относительно друг друга на время его длительности τ.
Отсюда нетрудно найти отклик трансформатора I2 ( t ) на прямоугольный импульс тока величиной I1:

$$ I_2(t)=-nI_1 \,exp(-t/\tau_2) \,\,\,; \,\,\, 0 \le t < \tau $$

$$ I_2(t)=nI_1 \, [exp(-(t-\tau)/\tau_2)-exp(-t/\tau_2)] \,\,\,; \,\,\, t \ge \tau $$


Рис.6. График переходного процесса.

Литература.

  1. Г.С. Цыкин. Трансформаторы низкой частоты. Теория, расчет и конструирование. Связьиздат, Москва 1955.
  2. Глазенко Т.А., Прянишников В.А. Электротехника и основы электроники. Изд. 2-ое, перераб. и доп. М. Высш.шк. 1996г. 207 с., ил.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 10+4?