ГлавнаяСтатьиРадио и физика → Расчет индуктивности тороидальной катушки

Расчет индуктивности тороидальной катушки

9 июля 2015 года
Ключевые слова: индукция , индуктивность

Что есть индуктивность?

Пусть через единственный виток течет ток I. Через поперечное сечение, охватываемое витком, существует магнитный поток Φ1 , пропорциональный этому току.
Коэффициент пропорциональности между ними L и называют индуктивностью:     $$ L = \Phi_1/I $$

Для катушки из N витков общий магнитный поток будет складываться из потоков отдельных витков. Эта суммарная величина называется потокосцеплением $$ \Psi=\sum\limits_{k=1}^{N} \Phi_k $$  и также пропорциональна току.     Следовательно, в этом случае:     $$ \boxed{ L=\Psi/I} $$

Индуктивность катушки есть коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и протекающим по ней током.

В произвольно спутанном клубке провода выделить витки и поверхности не представляется возможным. Поэтому наиболее общим является определение индуктивности по создаваемой проводником энергии магнитного поля     $$W={LI^2\over 2}$$

$$\boxed{L= {1\over {\mu_0 I^2} } \int\limits_V {B^2 \over \mu}dV}}$$

Индуктивность это мера способности проводника с током накапливать энергию в окружающем его магнитном поле. Она равна отношению удвоенной энергии поля к квадрату протекающего тока.

Как рассчитать индуктивность в практически важных случаях?

Наиболее важны три случая: тороидальная катушка, однослойная катушка, уединенный проводник (для оценки индуктивности монтажа).

Индуктивность тороида.

Считается по общей формуле:     $$ \boxed{ L={{\mu \mu_0 S} \over {l_a}}n^2}$$

Где S - сечение магнитопровода, la - средняя длина магнитной линии, μ0 = 4π⋅10 -7 - магнитная постоянная, μ - проницаемость материала, n - число витков.
Все величины в этой формуле выражены в системе СИ: индуктивность - Гн, длина - м и площадь м2.

У ферритового кольца прямоугольного сечения длина и площадь рассчитывается по внешнему диаметру D , внутреннему диаметру d и высоте h:

$$ l_a={\pi \over 2} (D+d) $$    ,   $$ S= {h \over 2} (D-d) $$    ,   $$ L={ {\mu_0 \mu (D-d) h } \over {(D+d)}}n^2 $$    


Данную формулу удобно привести к инженерному виду:     $$ L = A_L \, n^2 $$     ,     $$ n = \sqrt{L/A_L} $$

Все эти соотношения можно записать в простой скрипт wxMaxima

Смотреть скрипт

mu_0:4*%pi*1e-7 $

// D - наружний, d - внутренний диаметры, h - высота кольца [м]

mu:3000 $
D:20e-3 $
d:12e-3 $
h:6e-3 $
n:10 $

// Расчетная формула [Си], L - Гн

S:h*(D-d)/2 $
la:%pi*(D+d)/2 $
L=mu*mu_0*n*n*S/la;

L=1.8*10^-4

Величина AL для некоторых типов ферритовых колец дана в Таблице 1.

Таблица 1. Параметры колец с μ = 1000
Кольцо   К7х4х2     К10х6х3     К10х6х4,5     К16х10х4,5     К20х12х6     К32х20х6     К38х24х7     К40х25х11  
AL, нГн/вит2 ± 25% 224 310 460 430 620 570 650 1050

Индуктивность однослойной катушки.

Считается по формуле Вилера (1928):     $$ \boxed{ L={0,01D \over l/D+0,44} n^2}$$     D - диаметр в см, - l длина намотки в см, L - индуктивность в мкГн.


Индуктивности уединенных проводников.

Индуктивность в Гн прямого провода длиной l и радиуса r в м:     $$ \boxed {L \approx {\mu_0l \over 2 \pi} \left( ln \left( {2l \over r}\right)-0,75 \right) } $$

Индуктивность в Гн полосковой линии длиной l шириной w в м:     $$ \boxed {L \approx {\mu_0 l \over \pi} \left( ln \left( {2l \over w} \right)+0,5 \right)} $$


Индуктивность катушки в броневом сердечнике.

Считается по общей формуле, где сечения магнитопровода S и средние длины магнитной линии $$ la $$ даны в ГОСТ 19197-73. Но следует учесть, что эффективная магнитная проницаемость очень сильно зависит от толщины воздушного зазора $$ l_b $$ между чашками. Например, для чашки Б9 с магнитной проницаемостью 1500 при зазоре 0,1 мм эффективная проницаемость и индуктивность падают почти на порядок.

С учетом зазора индуктивность катушки в броневом сердечнике:

$$ \boxed{L = {{\mu_0 \, \mu} \over{ 1+\mu \cdot \l_b /l_a}}{{S n^2} \over{l_a}}} $$

Где все величины даны в СИ; сечения и длины указаны в Таблице 2.

Таблица 2. Эффективные параметры ферритовых чашек
Размер   Средняя длина магнитной линии la, см     Сечение магнитопровода S, см2  
Б6 1,04 0,07
Б9 1,26 0,11
Б11 1,54 0,18
Б14 1,89 0,28
Б18 2,49 0,48
Б22 3,04 0,69
Б26 3,6 1,01
Б30 4,44 1,38
Б36 5,4 2,2
Б42 6,17 2,48
Б48 6,92 3,74

Как получить формулы для расчета?

Это сложная задача, связанная с аналитическим или численным решением уравнений электромагнитного поля [1]. Но в некоторых случаях, например для тороидальной катушки, возможен и относительно простой расчет.

Для произвольного контура $$l$$ верна теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля $$\vec{H}$$.

$$\oint \vec{H} \vec{dl}= \sum {i_k} $$   (1)

Знаки тока связаны с направлением обхода контура $$\vec{dl}$$ правилом правого буравчика. Допустим вектор поля направлен по острию буравчика.
Если ток обегает его по часовой стрелке (как I1 на Рис.1) то он положителен, иначе отрицателен (как I2).

Пусть имеется тороидальный магнитопровод с магнитной проницаемостью µ и на нем в один ряд плотно намотана обмотка изолированного провода с числом витков n и протекающим током I. В этих условиях поле в магнитопроводе можно считать однородным и формула (1)
запишется просто как:

$$ H \cdot l_a = n \cdot I $$   (2)

Где la средняя длина окружности тороида. Из электротехники известно, что индуктивность катушки L связана с ее реактивным сопротивлением $$X_L$$ следующим образом.

$$ L= {{X_L} \over {\omega}} $$   (3)

$$ X_L={{ U_m }\over {I_m}} $$   (4)

Где Im - амплитуда сиусоидального тока, Um - амплитуда его напряжения. Как найти эти величины?
Im определяется сразу из формулы (2):

$$ I_m={{H_m l_a} \over {n}}={{B_m l_a} \over { \mu \mu_0 n }} $$   (5)

Где $$ \mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} $$ физическая константа.

Чтобы найти амплитуду напряжения надо вспомнить закон электромагнитной индукции Фарадея:

$$ \mathcal{E} = -n{ {d \Phi} \over { dt} }} $$

Где $$ \Phi=BS $$ - магнитный поток однородного поля, $$ B=B_m exp(-j \omega t) $$ - магнитная индукция, меняющаяся по синусоидальному закону с круговой частотой $$ \omega $$.

Отсюда амплитуда напряжения на катушке:

$$ U_m=- \mathcal{E}_m= \omega n B_m S $$   (6)

Остается найти L. Подставив в (4) формулы (5) и (6) и поделив полученное на круговую частоту имеем:

$$\boxed { L={{\mu \mu_0 S n^2} \over {l_a}}} $$     (7)

Все величины в этой формуле выражены в системе СИ: индуктивность - Гн, длина - м и площадь м2.

Реальная индуктивность всегда меньше, чем по формуле (7) из-за рассеяния магнитного потока.

Расчетные программы

Конечно же, при современном уровне вычислительной техники расчет по формулам имеет смысл скорее для обучения и тренировки. Для сложных инженерных расчетов уже нет надобности неделями штудировать учебники электродинамики или искать редкие справочники. Эту задачу легко решает хорошая и открытая программа Coil32. Автор программы поддерживает три ее версии - под Linux, Windows и Android.

Я пробовал Linux версию в ОС ALT Linux. Она работает и позволяет рассчитать три вида катушек: однослойную, многослойную и катушку на ферритовом кольце.


Версия под windows имеет больше вариантов расчета - индуктивность плоской катушки, уединенного проводника, катушки с произвольным шагом и т.п. Она без проблем запускается под wine и при желании Вы можете использовать ее.



Литература

  1. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей: Справочная книга. — 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. —488 с: ил.

Комментарии

#1. 4 октября 2015 года, 13:52. пишет:
Linux версия программы Coil32 переработана, теперь с русскоязычным интерфейсом. Адрес сайта программы изменился: http://coil32.ru
#2. 5 октября 2015 года, 19:24. Андрей пишет:
Хорошо, ссылку поправил.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 46+9?