ГлавнаяСтатьиРадио и физика → Электромагнитная индукция и индуктивная связь катушек

Электромагнитная индукция и индуктивная связь катушек

5 февраля 2014 года
Ключевые слова: индукция

Магнитный поток.

Магнитное поле индукция которого $$ \vec{B}$$ в различных точках поверхности неодинакова называют неоднородным. Если же индукция во всех точках одинакова поле однородное.
Всегда можно выбрать такой малый участок поверхности dS где поле допустимо считать однородным.

Произведение нормальной к участку поверхности составляющей индукции магнитного поля на ее площадь называют магнитным потоком:

$$d \Phi =B_n dS=B cos(\alpha) dS \qquad \eqno(1)$$

Магнитный поток — скалярная величина. Полный поток Φ сквозь поверхность S есть сумма потоков через ее отдельные участки:

$$ \Phi =\int\limits_{S} { B_n \,dS} =\int\limits_{S} {\vec{B} \vec{\,dS}} \qquad \eqno(2)$$

Явление электромагнитной индукции.

Опыт показывает, что при всяком изменении магнитного потока Φ через замкнутый контур в последнем возникает ЭДС индукции Ε пропорциональная скорости изменения потока и вызывающая появление индукционного тока.


Его направление определяет правило Ленца:

Индукционный ток вызывает вторичный магнитный поток максимально противодействующий первичному.


Количественная формулировка — закон Фарадея:

$$\mathcal{E} =-{{d\Psi} \over dt} \qquad \eqno(3)$$

Где $$\mathcal{E}$$ - ЭДС индукции, Ψ - потокосцепление (сумма магнитных потоков сквозь каждый виток катушки). При однородном поле в катушке потокосцепление равно произведению магнитного потока через сечение катушки на число ее витков $$ \Psi =\omega \Phi $$

Силы вызывающие ЭДС индукции являются для электрической цепи сторонними силами не электростатической природы. Правило Ленца объясняется законом сохранением энергии. Если при взаимодействии отклик системы влияет на причину, то он должен противодействовать причине, иначе процесс неограниченно нарастает.

Закон Ома для полной цепи.

Полной называется цепь с источником энергии. В каждой точке проводника справедливо соотношение для плотности тока:

$$ j / \sigma = (E_q+E_s) \qquad \eqno(4)$$

где - Eq напряженность кулоновского поля, Es- эквивалентная напряженность поля сторонних сил, $$ \sigma $$ - удельная проводимость.

Интегрируя (4) по площади и длине проводника получаем закон Ома для полной цепи:

$$ iR=(\varphi_1-\varphi_2)+\mathcal{E}_{12} \qquad \eqno(5)$$

Работа совершенная единичным зарядом на участке цепи равна разности потенциалов на концах цепи плюс ЭДС сторонних сил.
Из (5) и (3) найдем разность потенциалов на концах контура:

$$ (\varphi_1-\varphi_2)=iR+{d \Psi \over dt} \qquad \eqno(6)$$

Частные случаи явления электромагнитной индукции.

Самоиндукция катушки.

Пусть магнитный поток катушки определяется лишь собственным магнитным полем, оно же пропорционально величине проходящего по ее виткам тока.
Коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и силой проходящего тока называется индуктивностью катушки и обозначается буквой L.

$$ \Psi=L i \qquad \eqno (7) $$

Из (6) и (7) разность потенциалов на концах катушки без потерь:

$$ U_{L}={d\Psi \over dt}= L {di \over dt} \qquad \eqno (8)$$

Всякое изменение тока в катушке порождает противодействующую ему ЭДС, за счет которой скорость изменения тока уменьшается. Физически это связано с обменом энергией между электрической цепью и магнитным полем катушки. Индуктивность — мера инертности энергообмена.

Взаимная индукция катушек.

Рассмотрим 2 близких контура в которых текут постоянные токи I1 и I2. Полный магнитный поток в каждом из них равен сумме собственного и части соседнего. Это справедливо и для потокосцепления:

$$\begin{array}{l} \Psi_1=\Psi_{11}+\Psi_{12}\\ \Psi_2=\Psi_{21}+\Psi_{22} \end{array} $$     =>     $$\begin{array}{l} \Psi_1=L_1 I_1 + M_{12} I_2 \\ \Psi_2=M_{21} I_1 + L_2 I_2 \end{array} $$      (9)

1-ый индекс двойной нумерации обозначает место, а 2-ой источник.

Правило точек для определения знака М:

Выберем направление токов так, чтобы магнитные потоки суммировались. Концы контуров куда втекают токи пометим точками. Если токи в контурах движутся одинаково относительно помеченных концов, то их магнитный поток усилится и M>0, иначе поток ослабится и М<0.

Контура потоки которых суммируются называют включенными согласно, иначе они включены противоположно.


По аналогии с (8) запишем систему дифференциальных уравнений, связывающих напряжения на клеммах магнитно связанных катушек с их токами:

$$\begin{array}{l} du_1 / dt=L_1 \cdot di_1 / dt + M_{12} \cdot di_2 / dt \\ du_2 / dt=M_{21} \cdot di_1 / dt + L_2 \cdot di_2 / dt \end{array} $$      (10)      причем всегда    $$ M_{12}=M_{21}=M $$

Вычислим энергию магнитного поля и докажем, что коэффициенты взаимной индукции равны между собой.

Энергия одиночной катушки:

Увеличим ток в катушке от 0 до I1. Работа по созданию магнитного поля равна:

$$ A_{11}=\int\limits_0^t {i u \,dt}=\int\limits_0^t { i L {di \over dt} \,dt} = L \int\limits_0^{I_1} {i \,di} = {{LI_{1}^2} \over 2} $$


Энергия связанных катушек:
Увеличим сначала ток в 1-ой катушке от 0 до I1 а ток во 2-ой будем поддерживать нулевым. При этом совершится работа: $$ A_{11}={{L_1 I_{1}^2} \over 2} $$
Теперь поддерживая ток в 1-ой катушке равным I1 увеличим ток во второй катушке от 0 до I2.
При этом во 2-ой катушке совершится работа $$ A_{22}={{L_2 I_{2}^2} \over 2} $$ , а в первой работа равна: $$A_{12}=\int\limits_0^t i u \, dt= \int\limits_0^t I_{1} M_{12} {di_2 \over dt}\, dt= M_{12} I_1 \int\limits_0^{I_2} di_2 = M_{12} I_1 I_2$$

Общая работа:

$$ A=A_{11}+A_{12}+A_{22}={{L_1 I_{1}^2} \over 2}+{{L_2 I_2^2} \over 2}+M_{12}I_1 I_2$$

Повторив эти рассуждения включая катушки в обратном порядке найдем, что общая работа:

$$ A=A_{11}+A_{21}+A_{22}={{L_1 I_{1}^2} \over 2}+{{L_2 I_2^2} \over 2}+M_{21}I_1 I_2$$

Работа не зависит от порядка включения катушек, следовательно величины взаимной индукции равны.
Энергия взаимодействующих катушек отличается от суммарной энергии одиночных на величину энергии связи за счет того, что их магнитные потоки частично перекрываются.

Литература.

  1. А.В. Перышкин. Курс физики Ч.3 электричество, оптика и строение атома, учебник для средней школы. Издательство "Просвещение", М., 1967 г. 383 с.
  2. И.В. Савельев. Курс общей физики, том II. Электричество. Издательство "Наука", М., 1970 г. 431 с.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 40+9?